$\int f(x)g(x)dx \neq \int f(x)dx \int g(x)dx$

Essa desigualdade é interessante de ser refutada e faremos isso de forma fácil: por contradição, pois se acharmos pelo menos um exemplo em que a igualdade não funcione, podemos afirmar que as integrais são diferentes.

Primeiramente, tomaremos duas funções:

$f(x)=senx$ e $g(x)=cosx$

Dessa forma, vamos determinar os valores das integrais:

$(1)$ $\int senxcosx dx$

Por uma identidade trigonométricas temos que: 
$$senxcosx = \frac{1}{2}sen2x$$
Logo:
$$\int sen2x dx = \frac{1}{2} \int sen2x dx$ = - \frac{1}{4}cos2x + c$$

$(2)$ $\int senxdx \int cosxdx$

$=(senx+c_{2}).(-cosx+c_{3})$

$=-senxcosx+c_{3}senx-c_{2}cosx+c_{2}c_{3}$

$=-\frac{1}{2}sen2x+c_{3}senx-c_{2}cosx+c_{2}c_{3}$

Note que $(1) \neq (2)$, ou seja: 

$\int f(x)g(x)dx \neq \int f(x)dx \int g(x)dx$.